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系统函数

用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统,这时 y(n)=x(n)*h(n) 两边取z变换:Y(z)=X(z)/H(z)则定义为系统函数。 [1]

系统函数是个具有实系数的复变量S的有理函数,即实有理函数,所以它的极点和零点或者是实数而位于实轴上,或者是成共轭对的复数而位于与实轴对称的位量上。就是说,系统函数的极点和零点的分布必定对实轴成镜像对称。 [2]

用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统,这时 y(n)=x(n)*h(n) 两边取z变换:Y(z)=X(z)/H(z)则定义为系统函数。它是单位脉冲响应的z变换。单位圆上的系统函数z=e就是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。 [1]

因果系统单位脉冲响应h(n)是因果序列的系统,其系统函数H(z)具有包括∞点的收敛域:Rx- <|Z|≤∞

稳定系统单位脉冲响应h(n)满足绝对可和,因此稳定系统的H(z)必须在单位圆上收敛,即H(e)存在。

因果稳定系统最普遍最重要的一种系统,其系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个领域收敛,即1≤Z|≤∞ , H(z)的全部极点在单位圆以内。因此,因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在单位圆以内。

系统函数的极点和零点的分布必定对实轴成镜像对称。

系统函数一般有n个有限的极点和m个有限的零点。如果n>m,则当s为无穷大时。函数值

根据函数分子和分母幂次的高低,可以有若干零点在无穷大处,或者若干极点在无穷大处,即从广义上来说,系统函数极点和零点的数目应该相等。

以上关于极点、零点的分布规律,是从系统函数为实有理函数得出的。只要系统是集总参数的和线性时不变的,它的各个系统函数都符合这规律。如果对系统再加以某种条件限制,则极点、零点的分布也将有相应的进一步的限制。 [2]


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极点 | 零点 |
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