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线性偏微分方程

线性偏微分方程是一类重要的偏微分方程,关于所有未知函数及其导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程。例如,拉普拉斯方程、热传导方程及波动方程都是线性偏微分方程。 [1]

如果偏微分方程中,未知函数及它的所有偏导数都是线性的,且方程中的系数都仅依赖于自变量(或者是常数),那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程,特别的,如果方程中的系数都是常数,则称为常系数偏微分方程。显然,如果方程中的系数是自变量的函数,则称为变系数偏微分方程。方程中出现未知函数及偏导数不是线性的,则称为线性偏微分方程 [2]

未知函数具有多个自变量,含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个,就称为偏微分方程组

引入线性偏微分算子

1)如

2)如

3)如

许多物理学、力学和工程技术问题所引出的偏微分方程都是二阶偏微分方程。目前对于二阶偏微分方程研究相对成熟些。对于有双自变量

通过坐标变换能够把上述方程在某一点化成标准形式,根据

如果该偏微分方程在一个区域内的任意点均为双曲型的、抛物型的或椭圆型的,那么就称该偏微分方程在这区域内是双曲型、抛物型或椭圆型的。对于两个自变量的偏微分方程,在一给定的区域内总可以找到函数变换将已知方程化成标准形式,但是,就多个自变量的偏微分方程来说,这样的变换一般是较难找到。

由于二阶偏微分方程,具有广泛的实际意义和数学处理上的简单易理解。这里仅给出二阶线性偏微分方程的一些例子。

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